Старт в науке. Теория вероятностей в жизни

Глядя на тему "Судьба" и некоторые другие темы так или иначе связанные с концептом случайности или детерминизма, у меня возникло желание кратко объяснить некоторые из часто встречающихся у многих людей ошибок или недопонимания некоторых вещей. Я постараюсь сделать эту запись как можно короче и не вдаваться в детали.

Для начала давайте уясним, что идея детерминизма (идея о вселенной, где все события развиваются по одному сценарию и полностью зависят от прошлого), если посмотреть на нее объективно, ничуть не более естественная, чем идея индетерминизма (идея о вселенной, где "судьбы" не существует, предугадать будущее невозможно в принципе независимо от объема знаний об этой вселенной, так как в развитии "судьбы" имеет место неизбежный случайный фактор).

Идея о вселенной, где все предопределено, укоренилась в сознании людей, главным образом, благодаря ньютоновской физике, которая была сверхточной и давала почти идеальные результаты в вычислениях и их соответствию реальности. Любые неточности в результатах можно было объяснить неточностью изначальных измерений, да, собственно, оно так на самом деле и было. Благодаря этим воистину выдающимся результатам ньютоновской физики возникла идея о "механической" вселенной, которая развивается с точностью часов и в которой нету места случайностям, есть только место неизвестным нам обстоятельствам.

Тем не менее, есть пара вещей, которые в данный момент опровергают не саму ньютоновскую физику, а идею детерминизма. Первая это теория вероятностей - математическая дисциплина, которая развилась уже после появления ньютоновской физики и о которой ничего не знали на тот момент, когда эта физика появилась и пережила свою золотую эпоху. Вторая это появление квантовой физики, раздела физики, который занимается фундаментальными законами нашей вселенной и который очень сложно понять на концептуальном уровне.

К сожалению, с одной стороны ньютоновская физика настолько глубоко укоренилась в сознании многих ученых начала 20-го века, что они до конца своих дней не признали роль вероятности в законах вселенной. Самым ярким примером такого ученого является Альберт Эйнштейн. С другой стороны, до сих пор в школах изучают главным образом одну только ньютоновскую физику, что касается квантовой, по-моему ее по нормальному не преподают в каком-либо виде вообще, поэтому у людей появляется инстинктивное желание представить ее как "надстройку" или "модель" поверх ньютоновской физики.

Для начала, совсем кратко о квантовой физике. Это не "математическая модель", не "модель" и не "надстройка" над ньютоновской физикой. Вообще лучше выкиньте эти слова из головы. Хотя на самом деле да, квантовая физика это действительно математическая модель. Но мы не знаем чего именно это модель. Мы только знаем, что это не модель поверх ньютоновской физики.

Грубо говоря, роль вероятностей в квантовой физике - это фундаментальное свойство квантовых объектов. Это НЕ результат неточности в измерениях или попытка эти неточности привести в некие рамки. Неточности в измерениях это отдельная строка в результатах, которая не имеет отношения к законам физики.

Есть люди, которые считают, что вместо квантовой физики с вероятностями должна быть некая теория, которая позволит от них избавиться и позволит, скажем, предсказать какой именно атом распадется в конкретный момент времени, скажем, в одном грамме урана. Большая часть таких людей считается фриками и даже существует специальный Quantum Randi challenge: http://www.science20.com/alpha_meme/official_quantum_randi_challenge-80168 который по аналогии с обычным Randi challenge должен выводить их на чистую воду. Причина того, почему большая часть ученых так плохо относится к этой идее заключается в теореме Белла, очень сложной теореме, которая утверждает, что такая теория не может существовать в принципе.

Математически эта теорема доказана и все эксперименты на данный момент ее подтверждают.

Разобравшись с квантовой физикой, перейдем к более привычному для нас миру. Мир вокруг нас управляется, главным образом, ньютоновской физикой. Почти все люди согласились бы, что результаты ньютоновского эксперимента можно предсказать со 100% точностью еще до его проведения. Значит ли это, что наш "макроскопический" физический мир детерменичен и никакого шанса на роль случая в нем нет?

Переформулируя вопрос с другой стороны: можно ли поставить такой опыт в мире ньютоновской физики, который бы демонстрировал законы вероятности и конкретный результат которого было бы невозможно предсказать? Ответ на этот вопрос однозначен - да. И вот пример такого опыта:

На этом видео демонстрируется работа типичной "вероятностной машины". Все шарики предполагаются одинакового веса, и все палочки тоже одинаковы. Несмотря на это, путь каждого отдельного шарика, как и точный финальный результат, предсказать невозможно. В конце, тем не менее, шарики выстроятся в нормальное распределение, как и должно быть согласно теории вероятности.

Конкретный путь шарика при этом постоянно подчиняется ньютоновским законам. Предчувствую, что кто-то обязательно подумает "это потому, что мы не знаем всех факторов! Если бы мы знали до 100% точности каждый фактор, мы могли бы точно предсказать путь".

Давайте рассмотрим поподробнее эти факторы. Когда речь идет о таких феноменах, каждая мелочь может сыграть решающую роль в том, где именно в итоге окажется шарик. Дело не только в весе шариков и в микроскопической форме палочек - ведь один и тот же шарик будет проходить каждый раз разный путь. Играет роль огромное число факторов, вплоть до конкретного числового значения гравитации в этом месте в этот момент времени и конкретного расположения атомов у шарика и палочки. В свою очередь, каждой из этих факторов зависит от огромного числа других факторов. Можно, с определенной степенью уверенности, утверждать что конкретный путь шарика зависит от конкретного состояния вселенной в этот момент. И тем не менее, если бы мы знали все об этом состоянии, могли бы мы предсказать этот путь?

Позвольте мне высказать крамольную и шокирующую мысль - а что если конкретное "решение" о том, куда упадет шарик, "принимается" в момент непосредственного контакта шарика с палочкой, а не до этого? Ведь значения всех решающих факторов в этот момент тоже меняются и момент контакта происходит не в какой-то конкретный момент времени, такой, что можно однозначно разделить временную полосу на "до и после", а сам по себе занимает определенное время. Не следует забывать, что в ньютоновской физике время и пространство не являются дискретными, а являются протяженными, их можно бесконечно делить на маленькие части. Вот квантовая физика является дискретной, но как раз в ней действуют законы вероятностей.

Не существует определенного ответа на этот вопрос. Но я лично уверен, что на самом деле это решение принимается в момент контакта. В таком случае и здесь так же действуют законы вероятностей и на "не квантовом" уровне вселенная так же является индетерминичной.

В конечном счете сам факт наличия теории вероятностей подводит нас к мысли о том, что это так же является одним из фундаментальных законов вселенной, как и вытекающий из нее индетерминизм.

Хотя каждый может дать свой собственный ответ на этот вопрос, благо пока что ничего не доказано. Каждый сам может решать, что лично ему кажется более вероятным и более естественным.

В "многомировой" квантовой интерпретации (точнее, их много, этих интерпретаций, которые объединены под этим именем) чаще всего вероятность представлена очень грубо, вплоть до того, что бросок обыкновенного шестигранного кубика является случайным процессом. Конечно, кубик можно научиться кидать с определенным результатом, но когда он кидается наобум, то при определенных условиях, можно считать, что вероятность выпадания каждой стороны равна 1/6. Это происходит потому, что это в целом никак не контролируемый процесс который при приближении можно свести к тем же точкам контакта, что и в постановочном эксперименте, представленном выше. В реальных условиях, конечно, очень трудно найти эти точки или провести границы, которые устанавливают, какую информацию о процессе можно получить в принципе и что из этой информации можно выяснить.

Согласно данной интерпретации, вселенная делится на несколько вселенных, в каждой из которых реализуется одна из вероятностей. Тоже самое происходит с любым другим вероятностным процессом (то есть, в эксперименте выше, две вселенных после каждого "решения" пути шарика). Момент деления происходит не в тот момент, когда кубик показывает определенное число, а в момент когда становится определенным, что кубик покажет данное конкретное число. Это момент выделить достаточно сложно.

"Многомировая" интерпретация позволяет решить определенные парадоксы, которые возникают при попытке интерпретировать квантовую физику, например наличие объектов, которые могут быть одновременно в двух взаимоисключающих состояниях (это та самая "живая и мертвая одновременно" кошка Шредингера, хотя речь идет о квантовых объектах). Хотя с точки зрения, скажем так, бытового опыта, эта интерпретация кажется совершенно фантастической.

Помимо вероятностного движения объектов, существует ряд других феноменов, которые считаются индетерминичными, в частности, поведение людей, хотя эти феномены описываются теорией вероятности. Тем не менее, предсказать поведение людей, скорее всего, невозможно в принципе. Хотя сейчас установлено, что в большей степени поведение определяется подсознательными факторами, это не означает отсутствие свободной воли, которая может определять очень многое. К тому же сами эти подсознательные факторы тоже могут определяться какой-либо случайностью, которую иногда бывает предсказать еще сложнее, чем более-менее осознанный выбор.

Исходя из всех этих факторов, я лично для себя принял решение о том, что вселенная в целом является индетерминичной. Именно к этому, похоже, ведут нас научные данные. Мне кажется это гораздо более естественным, чем "детерминичная" вселенная где все зависит, в буквальном смысле, от момента ее возникновения, но при этом чтобы что-то предсказать, нужно обладать знаниями обо всей вселенной целиком. Что само по себе означает необходимость иметь, фактически, копию этой вселенной, но при этом мы знаем, что эта копия не будет идентичной (ведь в ней тоже должны быть квантовые процессы). По-моему это абсурд.

Даже более того, наш мир мне видится типично хаотической системой. Мы просто привыкли не замечать всего этого хаоса, который творится вокруг.

Может быть, оно и к лучшему. Жить в свободном мире, будущее которого не знаем ни мы, ни "он сам", все же куда более интересно.

Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными. Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики – Теории вероятностей.

Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего «случай», «риск».

Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных алгебраиста Джероламо Кардана () и Галилео Галилея (). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученымБлезу Паскалю () и Пьеру Ферма.

Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность. Всё началось с игры в кости.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костейнаукисредним векам математического анализаазартных игрорлянкакостирулеткаэмпирическим фактамБлез ПаскальПьер Фермакостей

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.Якоб Бернуллизакона больших чиселXIX векаЛапласПуассонXIX века П. Л. ЧебышевА. А. Марков А. М. Ляпуновзакон больших чисел центральная предельная теоремацепей Маркова аксиоматизации Андреем Николаевичем Колмогоровымразделов математики

В разделе на вопрос Теория вероятности... Где в жизни встречается теория вероятности? заранее спасибо:) заданный автором Просасывать лучший ответ это Весь теорвер взят из жизни. Любые более-менее массовые или часто повторяющиеся явления.
- Вероятность выиграть в лотерею / на рулетке в казино
- Вероятность поломки техники
- Производство - прогноз количества брака.
- Оценка надежности разных систем. Пример - на работе нужен "бесперебойный" (работоспособность 99,9995%) инет. Теорвер помогает.
- Вероятность того, что родители дадут 3.14зды за несделанное домашнее задание
Помним про МАССОВЫЕ И ПОВТОРЯЮЩИЕСЯ
"Если я вот сейчас поставлю в рулетке на 8, то выпадет или нет" , "сейчас пойду на улице, упадет на меня сосулька?" - ХЗ.
А вот ежели раз так 100 ставишь на 8 /то наверняка сольешь деньги, т. к. вероятность выигрыша немного меньше, чем проигрыша, но от перемножения вероятностей шансы твои падают всё сильнее /
или по улице за месяц падает 30 сосулек, а проходит 50 000 человек - вот тогда теорвер замечательно работает.

Ответ от Посоветовать [гуру]
Везде.
Пожалуйста.

Ответ от OchloPhob [гуру]
Только не в российской политике)

Ответ от Враг не пройдет! [гуру]
У профессора физики спрашивают: Какова вероятность того, что прямо сейчас сюда сейчас придет динозавр? Профессор два дня считал, потом говорит: Вероятность 0,0 в минус 300 0000 00000000000000%
У продавщицы спрашивают тоже. Она говорит: 50%
Это как же? - А обыкновенно - Или придет (50%), или не придет (50%)...

Ответ от Европейский [гуру]
В троллейбусе. Зайдёт или не зайдёт контролёр, когда ВЫ без билета едите.

Ответ от Grumm [гуру]
От падения кокосов погибает ~ 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но фильма "Кокос-убийца" пока не снято:))

Ответ от Ёеребряная Тень [гуру]
Кирпич на голову свалится или нет. . машина собьёт или нет..

Теория вероятности - это один из самый интересных разделов Науки Высшая математики. Данная теория, является сложной дисциплиной, имеет применение в реальной жизни. Она представляет несомненную ценность для общего образования. Это наука позволяет не только получать знания, которые помогают понимать закономерности окружающего мира, но и находить практическое применение в повседневной жизни.

Так каждому из нас каждый день приходится принимать множество решений в условиях неопределенности. Однако эту неопределенность можно «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать существенную помощь при принятии решения.

Теория вероятности – математическая наука, изучающая закономерности массовых случайностей явлений (событий).

Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятности имеет дело с такими событиями, который имеет массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называется испытанием (или опытом).

Пусть при n испытаниях событие А проявилось m раз.

Отношение m/n называется частотой события А и обозначается:

Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Р(А) случайного события обладает устойчивостью.

Событие называется достоверным, если оно в данном опыте обязательно должно произойти; наоборот событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.

Если событие достоверно, то оно произойдет при каждом испытании (m=n).

Поэтому частота достоверности события всегда равна единицы или 100%. Наоборот, если событие невозможно, то оно ни при одном испытании не осуществится (m=0). Следовательно, частота невозможного события в любой серии испытаний равна 0.

Совмещением двух (AB) или более (ABC) событий называется событие, состоящая в совместном наступлении событий. D=AB; D= ABC

Объединение двух событий А и В называется событием С, заключающее в том, что произойдет по крайней мере одно из событий или А или В. Это событие обозначается С=А+В

Объединение нескольких событий называется событие, состоящее в появлении по крайней мере одного из них. Запись D=А+В+С обозначает, что событие Dесть объединений событий А, В, и С.

Два события А и В называются не совместными, если наступление события А исключает событие В.

Отсюда следует, что если события А и В несовместимы, то событие АВ - невозможно.

Разберем пример: я хочу иметь отличную фигуру! Для того чтобы быть физически здоровым мне необходимо делать ряд упражнений. Ежедневные тренировки приведут меня к физическому успеху. Если я провожу 2 тренировки в 7 дней, то получается Р(А)=2/7=0,29 (или 29% из 100% возможных). Это малая вероятность того, что мое тело приобретет нужную форму в нужное время. Для этого оптимальный вариант заниматься ежедневно, т.е. 7 тренировок за 7 дней m=n; 7=7; Р(А)=7/7=1 (100%) Следовательно данное событие приобретает достоверную форму. Если мы не тренируемся и m=0, то о какой фигуре может идти речь, при m=0 событие не достоверно.

В статье рассмотрены основные задачи, в которых применяются различные методы теории вероятностей.

• Анализ динамических рядов (на примере отрасли пчеловодства)
• Применение теории вероятностей и математической статистики в страховой деятельности
• Самоанализ как начальный этап в освоении технологий самоменеджмента
• Средства стохастической подготовки обучающихся на основе информационных технологий

Теория вероятностей – это наука, изучающая использование специфических методов для решения задач, которые возникают при рассмотрении случайных величин. Она раскрывает закономерности, которые относятся к массовым явлениям. Эти методы не могут предсказать исход случайного явления, но могут предсказать суммарный результат. Следовательно, если мы изучим законы, которые управляют случайными событиями, то сможем при необходимости изменить ход этих событий. В свою очередь, математическая статистика - это раздел математики, который изучает методы сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия на их основе решений.

Почему же для обработки простых наборов данных требуется целая наука? Потому что эти данные, как бы мы не старались, никогда не являются точными, содержат случайные ошибки. Это могут быть и погрешности измерительных приборов, и человеческие ошибки, а так же неоднородность данных или, конечно, их недостаточность.

Обычно исследователь многократно повторяет свой опыт, получая большое количество однотипных данных, которые надо обработать и сделать весомые выводы, которые позволят не только продвинуться глубже в изучении предмета, но и сделать выводы, прогнозы, принять важные экономические решения и т.д.

Именно математическая статистика дает методы для обработки данных, алгоритмы для проверки статистических гипотез, критерии адекватности и значимости выбранной модели или закона, обоснованные границы точности для параметров распределения, которые мы можем получить исходя из наших данных и т.п.

Существует интересная история, которая говорит о том, что своим появлением теория вероятности обязана азартным играм. Основателем теории вероятностей считается французский ученый Блез Паскаль, который занимался в таких областях как физика, математика, философия. Однако на самом деле, Паскаль в своих работах обобщил опыт своего друга, известного в свое время Шевалье де Мере. Де Мере был азартным игроком, он увлекся расчетами того, сколько раз необходимо будет бросить игральные кости, чтобы заветные две шестерки выпали более, чем в половине случаев. Эти, казалось бы, не слишком серьезные вычисления, заставили Шевалье более глубоко заняться изучением вопроса вероятности, а позднее – вызвали интерес Паскаля.

В России наибольший интерес к теории вероятностей возник в первой половине XIX в. Значительный вклад в развитие науки теории вероятностей внесли русские ученые: П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Практическое применение теории вероятностей велико. Во многих сферах и областях жизни применяются методы теории вероятностей. Рассмотрим некоторые из них на конкретных примерах.

1. В случайном эксперименте дети симметричную монету бросают трижды. Найти вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Шаг первый - выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже n=8 .

Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет m=3. Тогда вероятность события P=m/n=3/8=0.375P=m/n=3/8=0.375.

2. Для прядения бабушка смешала поровну черный и окрашенный хлопок. Какова вероятность что среди 1200 единиц окажется больше половины черного хлопка.

Решение. Общее число вариантов события - 1200. Теперь определим общее число благоприятных вариантов. Благоприятные варианты будут в том случае, когда количество черных единиц больше половины, то есть 601, 602 и так до 1200. То есть 599 благоприятных вариантов. Таким образом, вероятность благоприятного исхода составит
599 / 1200 = 0,499 .

3. Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"?

Решение: Используем формулу классической вероятности: P=m/n, где n - число всех равновозможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события. Число различных перестановок из букв А, К, К, Л, У равно n=5!1!2!1!1!=1⋅2⋅3⋅4⋅51⋅2=60, из них только одна соответствует слову "кукла" (m=1), поэтому по классическому определению вероятности вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла" равна P=1/60.

4. Мужчина на шахматную доску случайным образом поставил две ладьи. Какова вероятность, что они не будут бить одна другую?

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех равновозможных элементарных исходов. Число всех способов расставить ладьи равно n=64⋅63=4032 (первую ладью ставим на любую из 64 клеток, а вторую - на любую из оставшихся 63 клеток). Число способов расставить ладьи так, что они не будут бить одна другую равно m=64⋅(64−15)=64⋅49=3136 (первую ладью ставим на любую из 64 клеток, вычеркиваем клетки, которые находятся в том же столбце и строке, что и данная ладья, затем вторую ладью ставим на любую из оставшихся после вычеркивания 49 клеток).

Тогда искомая вероятность P=3136/4032=49/63=7/9=0,778.

Ответ: 7/9.

5. Студент пришел на зачет, зная только 40 вопросов из 60. Какова вероятность сдачи зачета, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один?

Решение: Вероятность того, что преподаватель задал студенту вопрос, на который он не знал ответа (событие А) равна Р(А) = . Найдем вероятность того, что на второй вопрос преподавателя студент знает ответ (событие В) при условии, что ответа на первый вопрос студент не знал. Это условная вероятность, так как событие А уже произошло. Отсюда Р А (В) = 40/59. Искомую вероятность определим по теореме умножения вероятностей зависимых событий. Р(А и В) = Р(А)* Р А (В) = 40/59*20/60 = 0,23.

Таким образом, наша жизнь без применения теории вероятностей невозможна.

Список литературы

1. Анасова, Т.А., Теория вероятностей [Электронный ресурс] : курс лекций для обучающихся по программе бакалавров и магистров высших учеб. заведений / Т. А. Анасова, Э. Ф. Сагадеева; М-во сел. хоз-ва РФ, Башкирский ГАУ. - Уфа: [БашГАУ], 2014. - 68 с.
2. Гизетдинова, А. И., Применение актуарных расчетов в страховании [Текст] / А. И. Гизетдинова, Э. Ф. Сагадеева // Тенденции и перспективы развития статистической науки и информационных технологий: сборник научных статей, посвящается юбилею профессора кафедры статистики и информационных систем в экономике Рафиковой Н. Т. / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2013. - С. 192-194.
3. Кабашова, Е.В. Математическая экономика. Модуль 1. Обобщенные модели экономики [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Е.В. Кабашова, Э.Ф. Сагадеева. – Уфа: Башкирский ГАУ, 2013. – 68 с.
4. Кабашова, Е.В. Математическая экономика. Модуль 2. Глобальные модели экономики [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Е.В. Кабашова, Э.Ф. Сагадеева. – Уфа: Башкирский ГАУ, 2013. – 64 с.
5. Научные основы развития сельского хозяйства Республики Башкортостан [Текст] / К. Б. Магафуров; Башкирский ГАУ. - Уфа: Изд-во БГАУ, 2003. - 112 с.
6. Сагадеева, Э. Ф., Опыт кураторской работы в Башкирском государственном аграрном университете [Текст] / Э. Ф. Сагадеева // Проблемы повышения качества учебно-методической работы в вузе: опыт и инновации: сборник научных трудов / Российский университет кооперации, Башкирский кооперативный институт (филиал). - Уфа, 2009. - Вып. 11. - С. 128-131.
7. Сагадеева, Э. Ф., Выполнение актуарных расчетов с использованием коммутационных чисел с применением ЭВМ [Текст] / Э. Ф. Сагадеева, Р. Р. Бакирова // Потребительская кооперация и отрасли экономики Башкортостана: инновационные аспекты развития: сборник научных трудов / Российский университет кооперации, Башкирский кооперативный институт (филиал). - Уфа, 2008. - [Вып.10]. - С. 132-138.